Mayo

Límite de variable compleja

Antes de adentrarse en la continuidad de variable compleja, debemos tener claro como se define el límite en el conjunto de los números complejos, ya que este tema es muy similar a la continuidad de variable real les comparto un vídeo de mucha ayuda: Límites de variable compleja

Continuidad de variable compleja

Nota: En la sección de evidencias se encontrará ejercicios resueltos de continuidad de variable compleja.

Derivadas de variable compleja

Ecuaciones de Cauchy - Riemann

Si se desea la demostración, se encuentra en el siguiente archivo: Demostración de las ecuaciones de Cauchy - Riemann

Función Analítica

Una función compleja f(z), es analítica en Zo, sí y sólo sí es derivable para todo z de algún disco o bola abierta D de centro Zo; D: |Z-Zo|<r.

PROPIEDADES

1.- Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) analítica en un dominio D, entonces "u" y "v" satisfacen las Ecuaciones de Cauchy - Riemann.

2.- Sea f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Si "u" y "v" y sus derivadas parciales son continuas y además satisfacen las Ecuaciones de Cauchy - Riemann, f(z) analítica.

3.- Una derivación importante de las Ecuaciones de Cauchy - Riemann. es el concepto de función armónica, este es un concepto muy sencillo que se aclarará con este corto video: Función armónica

Nota: Estos conceptos son algo abstractos y se pueden aclarar observando ejercicios resueltos en la sección evidencias.

Integración en el plano complejo

Como se observa en la imagen anterior, la integración en el plano complejo es muy similar a los reales, para esto debemos separar nuestra parte real y nuestra parte imaginaria e integrar habitualmente.

Integrales de línea

Las Integrales de línea, como en el caso anterior se reducen a: 

Conjunto simplemente conexo

D es un dominio simplemente conexo, si solamente contiene puntos en D, en forma práctica diremos que no tiene huecos.

Si la curva es suave a trozos, el dominio D es simplemente conexo, si la curva es analítica y tiene antiderivada entonces en lugar de evaluar la integral de línea de forma habitual, únicamente integramos la curva entre sus puntos inicial y final.